- P ⇔ P (tính phản xạ)
- (P ⇔ Q) ⇒ (Q ⇔ P) (tính đối xứng)
- ((P ⇔ Q) ⇔ R) ⇔ (P ⇔ (Q ⇔ R)) (tính kết hợp)
- ¬¬P ⇔ P (tương đương với nguyên lý triệt tam)
- (P ⇔ Q) ⇔ (¬P ⇔ ¬Q) (contraposition)
Thí dụ
∀ n ∈ N , n ≥ 2 , ∀ x ∈ R − { 1 } , ( x + 1 ) n = ( x − 1 ) n ⇔ ( x + 1 ) n ( x − 1 ) n = 1 {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,n\geq 2,\forall x\in \mathbb {R} -\{1\},(x+1)^{n}=(x-1)^{n}\Leftrightarrow {\frac {(x+1)^{n}}{(x-1)^{n}}}=1}
- Mối quan hệ "tương đương" ∀x, y∈ℝ (x=y ⇔ x2=y2) (bình phương lên) là sai vì thí dụ 22=(-2)2 không kéo theo được 2=-2
- Mối quan hệ tương đương sau là đúng
∀ x ∈ [ − 1 , + ∞ ] , x − 1 ≥ x + 1 ⇔ ( ( x − 1 ) 2 ≥ x + 1 ∧ x − 1 ≥ 0 ) {\displaystyle \forall x\in [-1,+\infty ],x-1\geq {\sqrt {x+1}}\Leftrightarrow ((x-1)^{2}\geq x+1\quad \wedge \quad x-1\geq 0)} (bình phương lên)
Khi bình phương lên, ta mất thông tin "x-1 lớn hơn hoặc bằng một căn bậc hai" nên nó không âm, vậy để đạt được tương đương, ở mệnh đề sau ta phải bổ sung x-1>=0.
Nhận xét:
Chứng minh bằng các quan hệ tương đương không phải lúc nào cũng đơn giản, nhiều khi cần phải chứng minh riêng lẻ từng đảo đề tương ứng.
Phát biểu rằng "quan hệ tương đương P ⇔ Q là đúng" không có nghĩa là "P và Q đều đúng", mà là "khi một trong hai mệnh đề là đúng (hoặc sai), mệnh đề còn lại cũng đúng (hoặc sai) đồng thời".
